تثلیث زاویه از مسائل قدیمی و حل ناشده ریاضی است.

بزرگان ریاضی در طی دوران براحتی می‌توانستند با کشیدن نیمساز، هر زاویه دلخواه را به دو بخش برابر قسمت کنند، ولی در سه قسمت کردن کمان عاجز بودند. بنابراین تثلیث یا سه بخش کردن زاویه یکی از مسائل عهد باستان گردید.

با آشنایی در حد مثلثات دبیرستانی می‌شود ثابت کرد این مسئله ‌که جزء مسئله‌های طرح شده در شاخه ساختمان‌های هندسی است با کمک پرگار و ستاره (خط‌کش غیر مدرج) قابل حل نیست. ولی با حل یک معادله درجه 3 ساده می‌توانیم دریابیم که بی‌نهایت زاویه وجود دارد که با کمک ستاره و پرگار قابل تثلیث است، از جمله زاویه‌های 90 درجه یا 45 درجه؛ و بی‌نهایت زاویه وجود دارد که با کمک ستاره و پرگار قابل تثلیث نیست، از جمله زاویه? 60 درجه. بنابراین، زاویه? 60 درجه را نمی‌توان، به کمک پرگار و خط‌کش، به سه بخش برابر تقسیم کرد.

تثلیث زاویه، به همراه تربیع دایره، تضعیف مکعب و چندضلعیهای منتظم محاط در دایره از مسائل سه‌گانه عهد باستان است طی قرن‌ها حل نشده باقی‌مانده بود.

با وجود اثبات امکان ناپذیری حل این مسئله و مسئله‌های مشابه با استفاده از ستاره و پرگار، عده‌ای تلاش می‌کنند این مسائل را حل کنند. در اصطلاح ریاضی‌کاران ایرانی، این عده نوابیغ نامیده می‌شوند

شمارش و شمردن حالات انجام یک کار از زمانهای دور مورد بررسی بوده‌است. گویا این کار بیش از همه در جنگها برای شمارش سربازان به کار می‌رفته‌است. در این قسمت روشهایی را برای شمردن بدون شمارش دانه به دانه معرفی می‌کنیم.البته باید یاد آوری کنیم که مبحث شمارش همه? ترکیبیات را در بر نمی‌گیرد بلکه ترکیبیات یکی از شاخه‌های بسیار وسیع عالم ریاضی است و شمارش بخشی از آن است. ابتدا از دو اصل پر کاربرد شروع می‌کنیم: 1)اصل ضرب:اصل ضرب می‌گوید که «اگر ما k شی داشته و هر یک را به m شی قسمت کنیم آنگاه mk شی خواهیم داشت».این اصل بسیار بدیهی است.حال ما آن را به صورتی پر کاربرد تر بیان می‌کنیم: «اگر پیشامدی به 2 پیشامد پشت سر هم تقسیم گردد و پیشامد اول به k حالت و پیشامد دوم به m حالت واقع شود آنگاه کل پیشامد به mk حالت واقع می‌شود.» مثال:شخصی قصد سفر از شهر A به شهر B و سپس شهر C را دارد.از شهر A به شهر B,پنج جاده و از B به C چهار راه وجود دارد.اگر از A به C جاده? مستقل وجود نداشته باشد به چند طریق می‌توان از A به C رفت؟جواب:واضح است که بنا بر اصل ضرب پاسخ برابر 20 می‌باشد. این ساده‌ترین نوع سوال ترکیبیات است. در اصل شمارش اگر کاری را بتوان به m طریق وکار دیگری را بتوان به nطریق انجام داد واگر این دو کار را نتوان هم‌زمان انجام داد آنگاه این یا آن کار را می‌توان به m+n طریق انجام داد

نظریه احتمالات مطالعه رویدادهای احتمالی از دیدگاه ریاضیات است. مفهوم احتمال در مورد ارتباط یا پیوند دو متغیر به کار می‌رود، به این معنی که ارتباط یا پیوند آنها به صورتی است که حضور، شکل، وسعت و اهمیت هر یک وابسته به حضور، شکل، و اهمیت دیگری است. این مفهوم به صورت محدودتر و در مورد ارتباط دو متغیر کمّی نیز به کار برده می‌شود ریاضی‌دانان عددی بین صفر و یک را به عنوان احتمال یک رویداد تصادفی به آن نسبت می‌دهند. رویدادی که حتما رخ دهد، احتمالش یک است و رویدادی که اصلاً ممکن نیست رخ دهد احتمالش صفر است. احتمال شیر آوردن در پرتاب یک سکه سالم یک دوم است، همانطور که احتمال خط آوردن هم یک دوم است. احتمال این‌که پس از انداختن یک تاس سالم شش بیاوریم یک ششم است. به زبان ساده?‌ ریاضی احتمال، نسبت تعداد اعضای مجموعه? پیشامدهای دلخواه به تعداد اعضای مجموعه? تمام پیشامدهای ممکن است. مثلاً در مورد تاس، برای محاسبه?‌ احتمال آوردن عددی زوج، مجموعه? پیشامدهای ممکن هست: {1?2?3?4?5?6} و مجموعه? پیشامدهای دلخواه هست: {2?4?6}. تعداد اعضای مجموعه? دلخواه هست 3 و تعداد اعضای مجموعه? پیشامدهای ممکن هست 6. پس احتمال هست: سه ششم مساوی با نیم جمع احتمال رخ دادن یک رویداد با احتمال رخ دادن رویداد مکمل آن، عدد یک می‌شود. مثلاً در تاس ریختن جمع "احتمال آوردن شش" (که یک ششم است) با "احتمال نیاوردن شش" (که 5 ششم است) می‌شود یک.